martes, 4 de septiembre de 2007

La historia de la actividad como objeto de aprendizaje para la docencia profesional en Matemáticas

La historia de la actividad como objeto de aprendizaje para la docencia profesional en Matemáticas

Liliana Suárez Téllez (Cinvestav-IPN, México), Blanca R. Ruiz Hernández (ITESM-Campus Monterrey, México), María Eugenia Ramírez Solís (CECyT 14-IPN, México), Pedro Ortega Cuenca (CECyT 11 y Centro de Tecnología Educativa-IPN, México) y José Luis Torres Guerrero (CECyT 7-IPN, México).

Resumen. La Historia de la Actividad (HA) es una de las herramientas del marco de los Paquetes Didácticos de Matemáticas (PDM) diseñada especialmente para que un docente se apoye en el trabajo de una comunidad profesional para lograr que la diversidad de estudiantes que conforman su grupo comprenda las matemáticas y aprenda a usarlas. La HA comprende la caracterización de la actividad, las soluciones posibles y un comentario didáctico. Como parte de los PDM se diseñaron unos Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) que constituyen marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que docente y discente se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión 'responsabilizarse de su aprendizaje' y contribuyen al logro de la autonomía del discente en la organización de su propio aprendizaje. La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende, además de los metadatos generales, objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Se ilustra con un ejemplo de HA.

1. Paquetes Didácticos de Matemáticas y un Repositorio de Objetos de Aprendizaje
En el diseño de actividades de aprendizaje en ambientes virtuales es preciso caracterizar el tránsito de la interacción[1] hacia la interactividad[2]. Y, en la medida de lo posible, preservar los espacios de interacción, ahora virtuales, entre discentes, docente y actividad. En las actividades que se incluyen en los PDM se considera una interacción bien definida para que se logren los complejos objetivos del currículo planeado, teniendo como marco los MAPOA. En los Objetos de Aprendizaje se habrá de explicitar la interacción necesaria, según el potencial de interactividad de los dispositivos, para lograr los mismos objetivos complejos. Una premisa es el uso de los resultados de la investigación siempre que sea pertinente.

Al adaptar el marco, con referentes de distintos niveles, se considera la formación de competencias como el punto de concurrencia de los diversos agentes que participan en el proyecto. Los MAPOA constituyen, entonces, una referencia explícita que es preciso compartir con el discente siempre que sea posible. Como aquí se trata de OA para docentes, éstos también tienen la oportunidad de usar los MAPOA en la organización de su aprendizaje. En este marco, es particularmente destacable, por su carácter de recurso común, el aprendizaje de estrategias, asociadas con un esquema de resolución de problemas, aunque hay estrategias de uso específico que se asocian con cierto tipo de actividades. Estas estrategias se organizan en un inventario de estrategias según criterios de uso y se caracterizan según los aprendizajes metacognitivos. También conviene destacar los tutoriales de algoritmos que se refieren a ideas potentes y aprendizajes facultadores asociados (inseparablemente) con algún tipo de Tecnología Educativa (TE). Además están, por supuesto, las actividades que se habían identificado en los PDM y que se redefinen en el contexto de los ROA. Vale la pena destacar que en todos los casos, las actividades de aprendizaje llevan asociado un foro, por su potencial de interacción, que define temas de discusión, relativos a la actividad, a los contenidos y a la organización de su aprendizaje, y permite que los discentes propongan temas de discusión. Los resultados de los análisis de estos foros se retoman en los foros de las HA.

En el ámbito institucional, el ROA del IPN es un sistema de gestión de contenidos multimedia que reúne los materiales educativos digitales de la comunidad politécnica para ser preservados, administrados y reutilizados por docentes y alumnos.








Figura 1. Repositorio de Objetos de Aprendizaje del IPN.




El ROA del IPN señala las características que deben cumplir los contenidos: 1) contar con una identificación clara para que puedan ser utilizados en diversos contextos educativos, 2) estar adecuadamente ensamblados para que puedan ser fácilmente reutilizables y 3) utilizar estándares ampliamente reconocidos para que puedan ser interoperables entre diferentes LMS (Learning Management System). Todo esto se logra siguiendo normas y recomendaciones internacionales que habilitan al ROA para que sus contenidos sean utilizables en otros países. Las recomendaciones que sigue este repositorio son las publicadas por ADL SCORM 1.2, patrón utilizado a nivel mundial por una gran cantidad de instituciones.

El ROA del IPN actualmente se encuentra en fase beta (CTE, 2007), incluye cinco categorías y varios rubros, como se puede advertir en la Figura 2, pero se está trabajando para liberarlo en breve.

Dentro de los resultados que ya se muestran en el ROA del IPN hay una serie de actividades que tienen sentido como redes para aprendizajes bien definidos.

2. Los Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje
Los MAPOA desempeñan un doble papel como un marco para la organización del aprendizaje, tanto del discente como del docente. El profesor, entonces los puede usar en su aprendizaje y tiene que incorporarlos en sus diseños para que los usen los estudiantes.

En el marco de las nuevas concepciones de educación donde lo fundamental es el proceso de aprendizaje, el logro de la autonomía y la atención a la diversidad, se requiere de un marco de referencia que dé sentido a la perspectiva integral del aprendizaje y a la formación y desarrollo de competencias para aprender a aprender. En este contexto los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) constituyen estos marcos de referencia compartidos, que se usan y comentan durante las experiencias de aprendizaje para que estudiantes y profesores (discentes y docentes) participen en la consolidación del aprendizaje integral, reconozcan las competencias a lograr y los aprendizajes involucrados.

En los MAPOA se proponen diversos auxiliares que consideran estrategias, procesos metodológicos, habilidades para el manejo y transferencia de la información, recursos comunes, estrategias de uso específico para las matemáticas, así como recursos para la evaluación, autoevaluación y coevaluación. En términos generales los MAPOA contribuyen a la participación conciente y responsable del discente en el desarrollo y consolidación de competencias para su aprendizaje.

3. La planeación de una actividad
Las HA no sólo proporcionan al profesor redes de actividades y materiales para que escoja y planee secuencias que ponga en práctica en su propio curso, sino también cuentan con espacios para discutir justificaciones y documentos que aporten herramientas que le faciliten la planeación de un curso y de ejes a través de varios cursos. Las HA comprenden la caracterización de la actividad según el marco (Alarcón, 1995), las evidencias del trabajo de los estudiantes y la experiencia de los profesores en problemas de estructura similar. Este trabajo a profundidad con una actividad permitirá pasar después a la construcción de las redes de problemas y secuencias de actividades aprovechando las historias desarrolladas por un conjunto de profesores.
La caracterización clasifica a la actividad de acuerdo a la modalidad de trabajo y experiencia de aprendizaje, herramientas tecnológicas, representaciones y estrategias en el proceso de solución, el producto esperado y la evaluación. De las soluciones posibles del problema, se prefiere aquella que sea más congruente con los objetivos planteados y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles a esa solución. El comentario didáctico de la actividad se refiere al objetivo del problema en términos de las posibles soluciones, a las distintas vías que puede seguir un estudiante para avanzar en la realización de la actividad con la aplicación de las estrategias correspondientes y describe la articulación de las representaciones. El comentario incluye algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. Por supuesto, el trabajo sucesivo irá conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que la constituyen. Esta labor la podremos emprender mejor aprovechando las comunidades de aprendizaje y un blog en internet.




Figura 2. La planeación de una Actividad.



La HA es abierta y acumulativa, aunque en determinados momentos se hacen cortes para organizar las experiencias y facilitar su consulta para la planeación de las sesiones que incluyan la actividad. Las HA se robustecerán cada vez que un profesor las trabaje en clase y registre en un blog colectivo los resultados de su experiencia. La HA como objeto de aprendizaje comprende objetivos de aprendizaje, en este caso para el ejercicio profesional de la docencia, un contenido, el conocimiento de la disciplina desde una perspectiva pedagógica, unas actividades, la elaboración de la HA y criterios para evaluar si se han logrado los objetivos. Si, como afirma Chan, “el valor de los objetos de aprendizaje parece encontrarse en la posibilidad de armar unidades de aprendizaje de cualquier tamaño; una unidad dentro de un curso, o bien un curso entero, a partir del ensamblaje” (Chan, et al, 2006, 70), las HA como OA son, a su vez, una fuente para que un docente profesional diseñe OA para sus cursos de Matemáticas.



Figura 3. La Historia de una Actividad.


4. Un ejemplo: Una Red de Actividades para Estadística y Probabilidad
En el blog se tiene oportunidad de reflexionar sobre las actividades de aprendizaje, alrededor de las cuales se enfoca y encamina la discusión de la práctica docente del profesor. Las actividades pueden girar alrededor de problemas, problemas guiados, proyectos, lecturas o ejercicios. La elección de las actividades se ha realizado por la potencia que tienen para representar y manipular objetos matemáticos, así como sus relaciones. Se reconoce el grado de dificultad que existe para comprender conceptos como muestreo, variable aleatoria, probabilidad, funciones probabilísticas y se opta por estas actividades que permiten la exploración y el descubrimiento de conceptos y principios, que de otro modo serían mucho más abstractos. Regularmente ocurre que las actividades se interrelacionan entre sí por sus objetivos curriculares o porque una de ellas es generadora de otra u otras. Por ejemplo, en ocasiones un problema engendra otro problema, o una lectura engendra un problema. Así se constituyen las redes de actividades de aprendizaje que se vinculan desde perspectivas diferentes y que se pueden articular de varias maneras para cumplir diversos objetivos didácticos o en distintos niveles cognitivos, dando como resultado la formación de secuencias de aprendizaje.
La red de actividades ‘El método de simulación como una estrategia didáctica’ consta de una lectura y cuatro problemas. Esta red surge a partir del artículo ‘El método de simulación de Montecarlo’ (Paulos, 1993, pp 166-168), cuyo análisis y profundización engendra diversas preguntas que pueden concretarse en problemas. Hasta el momento, se han generado los problemas: ‘Racha de cinco’, ‘El basquetbolista’, ‘El varoncito’ y ‘Los amantes del metro Pino Suárez’. También incluimos la exploración y manipulación de la actividad ‘Probabilidad y azar’ (Nuñez, 2001) como una actividad complementaria. En su conjunto las seis actividades tienen como objetivo principal el uso de la simulación para resolver un problema y para la comprensión de conceptos de Estadística Descriptiva, como la tabla de frecuencias, el histograma, algunas medidas de dispersión y de centralización, y de probabilidad, como la aleatoriedad y la probabilidad frecuencial pudiéndose llegar hasta la comparación de una distribución empírica con la distribución teórica. En esta presentación, seleccionamos la lectura y dos de esos problemas (‘Racha de cinco’ y ‘El basquetbolista’) para ejemplificar los comentarios didácticos de las actividades que forman una de las secuencias posibles de esta red, aunque comentamos algunos resultados que se han obtenido en las otras actividades de la misma secuencia.

Una Lectura, Muchas Preguntas
‘El método de simulación de Montecarlo’ de John Allen Paulos (1993, pp 166-168) es un artículo corto, cuya lectura no toma más allá de 10 minutos, sin embargo su comprensión no es inmediata. La discusión alrededor de ella estará guiada por preguntas sobre los dos ejes principales de la lectura: el uso de la simulación para resolver problemas y las bondades y los pormenores del uso de un modelo matemático. Los estudiantes leen y comentan el artículo por equipo con el objetivo de responder las preguntas guía. Luego se pide exponer sus respuestas a uno o dos equipos. Las respuestas se entregan por escrito, aunque en el momento en que se exponen se pide un comentario oral. La discusión que se suscita puede propiciar la simulación de las situaciones planteadas en la lectura con dados, una moneda o una tómbola. El profesor debe ir preparado para ello con material que lo haga posible. En esta primera fase es posible que las explicaciones de los estudiantes no alcancen el grado de profundidad deseado, sin embargo ésta es sólo la primera fase y las preguntas planteadas en la lectura engendran problemas, que al ser analizados, dan una mejor comprensión del artículo. Para tener una mejor idea del grado de asimilación de nuestros estudiantes al realizar esta secuencia de actividades es recomendable volver a la lectura en un grupo de discusión virtual al finalizar la secuencia. La discusión virtual facilita retomar las deliberaciones de los estudiantes en distintos momentos del curso, en donde el profesor crea que se ha añadido un punto a favor de la polémica. Este tipo de discusiones ayudan a plasmar las ideas por escrito y a recapitular sobre ellas. No olvidemos que en los niveles educativos que trabajamos, la probabilidad y la estadística generalmente utilizan nociones matemáticas y procedimientos gráficos fáciles de realizar, pero que aun los conceptos básicos dentro de estas ramas de la matemática generan controversias que no se han podido esclarecer. Las discusiones virtuales no sólo favorecen el debate sino también la disertación.

Dos Problemas Secuenciados
‘Racha de cinco’ es una versión más simple de ‘El basquetbolista’, cuyo núcleo está descrito en la lectura de John Allen Paulos. En ‘Racha de cinco’ se trata de simular juegos de fútbol para analizar la probabilidad de que tu equipo favorito gane un torneo en el que se juegan cinco partidos, sólo con la posibilidad de perder o ganar. Esta simplificación facilita la simulación de la situación a través de lanzamientos de una moneda, con un dado o con una tómbola en el que haya más de dos opciones. Estas simulaciones físicas tienen el objetivo de abstraer los elementos básicos de la situación con la finalidad de extraer la información necesaria para llevar al estudiante al planteamiento de simulaciones con uso de tecnología puesto que se pide que se simulen 100 torneos. La herramienta tecnológica que se use dependerá de las que el profesor y los estudiantes tengan disponibles, aunque la situación didáctica cambia según as características de la herramienta. La generación de números aleatorios puede exigir una programación simple, a través de la condicional: ‘Si... entonces...’ o la definición de la distribución, algo que suena muy complicado, pero que en ocasiones es más simple que lo primero aunque da menos opción de dinamismo. Programas como Excel y Fathom pueden ofrecer ambas opciones, en cambio algunas calculadoras se remiten a la primera opción. La simulación como una estrategia se convierte en un medio didáctico (para aprender los conceptos estadísticos deseados) y en una herramienta para resolver problemas. A partir de los casos generados se obtiene la tabla de frecuencias, el histograma y el polígono de frecuencias, se calculan los parámetros y se estiman las respuestas al problema.
La simulación realizada con ‘Racha de cinco’ familiariza al estudiante con la herramienta tecnológica para hacer la simulación de ‘El basquetbolista’ y enfrenta al estudiante con sus primeros conflictos conceptuales. Así, por ejemplo, se observa una tendencia a la no comprensión de la instrucción ‘Si... entonces...’, sólo hasta después de haber gastado un tiempo con simulaciones físicas, algunos estudiantes se deciden a intentar comprenderla. Algo parecido ocurre con la construcción de la tabla de frecuencias con la opción ‘Contar... si...’ optan por el conteo manual hasta que notan la facilidad de hacerlo a través de esa instrucción. Las primeras dificultades conceptuales se observan al elaborar la tabla de frecuencias que no resulta tan simple si el estudiante no se ha dado cuenta de cuál es su variable de interés y del significado, en el contexto del problema de la frecuencia absoluta. El cálculo de los parámetros de interés (moda, media, mediana, desviación estándar, cuarteles y rango intercuartil) ofrece la dificultad de que el estudiante pierde de vista cuáles son sus datos, si los resultados de las simulaciones de cada juego, la suma de juegos ganados en un torneo o la frecuencia absoluta de un cierto número de juegos ganados en todos los torneos, de modo que no sabe sobre qué números calcular los parámetros. Este obstáculo se puede superar si se le ayuda a recapitular sobre el contexto del problema y el sentido de cada una de las columnas obtenidas. También es una buena oportunidad para confrontar los resultados y las formas de obtener los parámetros a través de la tabla de frecuencias y de la tabla de datos. Estos mismos tropiezos pueden volver a presentarse en la solución del problema de ‘El basquetbolista’, pero, muy probablemente, a menor escala. En ambos problemas se pone en juego el cambio de registros y la interpretación e identificación de parámetros en distintas representaciones, lo que facilita la comprensión y apropiación de los conceptos.
Dos de los debates de mayor interés en ambos problemas se producen al comparar los resultados obtenidos por todos equipos. Es muy posible que algunos disten de lo obtenido por el grueso del grupo y que se comience a dudar de la legitimidad de esos datos. La discusión se debe desviar del resultado propiamente a la comprobación de la aleatoriedad de ese resultado a través del proceso seguido para obtenerla. Esto enriquece el debate puesto que se discute uno de los aspectos distintivos del concepto (Batanero, 2001) y propicia traer a colación su acepción formal. La otra discusión se establece alrededor de la relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Se cuestiona cuál de los resultados obtenidos es el valor real de la probabilidad y posteriormente cuál es el número de simulaciones que lo proporcionan. Los estudiantes pueden proponer sumar todos los datos obtenidos por los equipos para formar una sola secuencia con más simulaciones. Puede no ser una idea mala porque a medida que los datos se incrementan, con cada contribución de los equipos, se puede ir comentando el cambio ocasionado en la gráfica y los parámetros de la nueva distribución. Sin embargo hay que tener presente que si los equipos recurrieron a distintos métodos de simulación, éstos deben tener cierta compatibilidad para no incurrir en el error de mezclar datos que son distintos, generalmente el uso de un mismo programa computacional lo garantiza puesto que usa los mismos métodos aunque la interfaz con el usuario sea diferente. El efecto de observar el cambio en el modelo generado con mayores simulaciones también se logra si un equipo repite muchas veces su simulación, aunque se pierde la participación de todo el grupo. De acuerdo con Fischbein (1975) con esta estrategia se espera que la intuición sobre la frecuencia relativa se desarrolle como consecuencia de esta experiencia. La discusión sobre el valor real de la probabilidad se puede continuar con el problema de ‘El basquetbolista’ cuando el curso permita introducir la distribución binomial y se puedan comparar las distribuciones teórica y empírica obtenidas. Con esto también se añade un punto de enriquecimiento a la discusión de la simulación y la modelación.
La comparación entre el modelo teórico y empírico se puede retomar en las siguientes actividades de la secuencia, así por ejemplo, ‘El varoncito’ es un problema cuya simulación en un programa computacional es muy parecida a las actividades ya comentadas, pero cuya distribución es diferente. Así, los estudiantes pueden observar el comportamiento de una distribución distinta a la que esperaban y darse cuenta que, aunque desconocen el modelo teórico, pueden manipularla y calcular sus parámetros.
Para lograr una mejor educación de la intuición a través de la experiencia, es deseable que el estudiante entregue conjeturas por escrito antes de realizar cualquier cálculo o simulación. En un principio, generalmente, ellos hacen sus conjeturas muy espontáneamente y casi sin ninguna resistencia, pero muestran escasa intuición. Los valores de probabilidad que proponen son muy altos, aunque lo son menos en ‘El basquetbolista’ que en ‘Racha de cinco’. A medida que se desarrolla la secuencia de actividades su intuición va mejorando, aunque también se vuelven más prudentes y tienen el impulso de detenerse a razonar sus predicciones.

La Historia de la Actividad como Objeto de Aprendizaje permite al profesor generar planes muy detallados para realizar sesiones con objetivos bien definidos que consideren la diversidad de estudiantes y tengan altas probabilidades de lograr los objetivos de aprendizaje, gracias al trabajo sistemático de una comunidad profesional.


Referencias
Alarcón, J. (1995). Notas del Seminario ‘Precálculo y Resolución de Problemas’ realizado en el DME-CINVESTAV-IPN.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística.
Chan, M.E., Galeana, L. y Ramírez, M.S. (2006). Objetos de aprendizaje e innovación educativa. Primera edición. Trillas.
Fischbein, E. (1975). The intuitive sources of probabilistic thinking in children. Dordrecht: Reidel Publishing Co.
Nuñez, A. (2001). Azar y Probabilidad-Proyecto Descartes, [en línea]. España: CNICE del Ministerio de Educación y Ciencia. Recuperado el 25 de mayo de 2007, de http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Azar_y_probabilidad/.
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[1] Proceso que establece un usuario con un dispositivo, sistema u objeto determinado. Entre otros factores, en el diseño de interacción intervienen disciplinas como la usabilidad y la ergonomía. La usabilidad en español significa capacidad de uso, es decir, la característica que distingue a los objetos diseñados para su utilización de los que no. Sin embargo la acepción inglesa es más amplia y se refiere a la facilidad o nivel de uso, es decir, al grado en el que el diseño de un objeto facilita o dificulta su manejo. La ergonomía es un campo de conocimientos multidisciplinarios que estudia las características, necesidades, capacidades y habilidades de los seres humanos, analizando aquellos aspectos que afectan al entorno artificial construido por el hombre relacionado directamente con los actos y gestos involucrados en toda actividad de éste. (Interacción, Wikipedia, 2007).
[2] En el contexto de la comunicación entre ser humano y máquina, la interactividad se refiere al comportamiento interactivo del aparato tal como lo experimente el primero. Esto difiere de otros aspectos de la máquina tales como su apariencia visual, su forma de trabajo interna, o el significado de los signos que transmita. Los sistemas complejos que detectan y reaccionan a la conducta humana son frecuentemente denominados "interactivos". Bajo esta perspectiva, la interacción incluye respuestas a las actividades físicas humanas, por ejemplo el movimiento (lenguaje corporal) o al cambio en los estados psicológicos. (Interactividad, Wikipedia, 2007).

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